Juste une semaine après un IA réfutée une conjecture vieille de 80 ans et des mathématiciens étonnés, une autre conjecture qui existait depuis un demi-siècle est tombée, inspirée par les mêmes techniques, mais cette fois écrite entièrement par des humains.

La semaine dernière, un modèle d’IA inédit d’OpenAI a réfuté une conjecture importante posée pour la première fois par un mathématicien hongrois. Paul Erdősappelé problème de distance unitaire. L’énigme, qu’Erdős considère comme sa « contribution la plus frappante à la géométrie » et que de nombreux mathématiciens n’ont pas réussi à résoudre, concerne le nombre de connexions de taille similaire que l’on peut établir entre des points disposés sur une surface plane.

Erdős avait fixé un plafond à ce chiffre, ce que de nombreux experts considéraient comme correct. Mais le modèle d’IA a montré que ce nombre pourrait en fait être beaucoup plus grand, en utilisant une astuce obscure de la théorie algébrique des nombres pour créer des structures complexes de dimensions extrêmement élevées, qui pourraient ensuite être utilisées pour disposer les points dans un arrangement très différent de celui envisagé par les humains. Le résultat a surpris les mathématiciens, certains ne s’attendant pas à voir la conjecture d’Erdős réfutée de leur vivant.

Aujourd’hui, moins d’une semaine plus tard, Thomas Bloom à l’Université de Manchester au Royaume-Uni et ses collègues ont utilisé un argument similaire pour réfuter une autre affirmation célèbre, qu’Erdős avait formulée pour la première fois en 1976, appelée la conjecture somme-produit.

«C’était une surprise parce que j’avais beaucoup réfléchi au problème», explique Bloom. Après avoir vu l’astuce utilisée par l’IA d’OpenAI, qui utilisait la théorie des nombres pour résoudre un problème géométrique, Bloom et son équipe ont réalisé qu’ils pouvaient essayer la même chose pour la conjecture somme-produit. « Une fois que vous savez que quelque chose pourrait être possible, vous êtes prêt à faire un peu plus d’efforts pour que cela fonctionne », dit-il.

d’Erdős produit-somme la conjecture concerne des collections de nombres, ou des ensembles. Il dit que si vous additionnez ou multipliez tous les nombres de cet ensemble, une paire à la fois, pour créer deux autres ensembles, alors au moins un de ces ensembles doit être beaucoup plus grand que l’ensemble d’origine – vous ne pouvez pas avoir les deux ensembles de la même petite taille. Par exemple, si vous multipliez tous les nombres de 1 à 5, vous obtiendrez un ensemble plus grand que si vous les additionnez tous, car il y aura des résultats en double, tels que 2+3 et 1+4. En considérant un ensemble différent, tel que 1, 2, 4, 8 et 16, l’ensemble ajouté sera plutôt plus grand, car l’ensemble multiplié ne contient que diverses puissances de deux.

Erdős a fixé une barre quant à la taille du plus grand des deux ensembles ajoutés et multipliés, et a supposé que cela devrait être valable pour n’importe quel ensemble de nombres. Mais Bloom et ses collègues ont utilisé la même astuce de grande dimension pour trouver un ensemble où sa somme et son multiplié sont plus petits que ce qu’Erdő pensait possible. Au lieu d’utiliser une progression géométrique de nombres, comme des puissances de deux, vous pouvez créer une progression de nombres dans de nombreuses dimensions différentes en même temps, ce qui, selon eux, produit un ensemble dans lequel le nombre de sommes différentes que vous pouvez faire est beaucoup plus petit.

«La vraie surprise pour moi, c’est que c’était si simple», explique Bloom. « La construction est si simple à décrire et nous comprenons vraiment maintenant pourquoi (la conjecture d’Erdős) échoue, ce qui devrait également nous aider à résoudre de nombreux autres problèmes connexes. »

« C’est typique des mathématiques en tant que sport de compétition », déclare Micha Roudnev à l’Université de Bristol, Royaume-Uni. « Dès qu’une nouvelle idée surgit, certaines personnes sont prêtes à travailler vingt-quatre heures sur vingt-quatre pour trouver d’autres applications, et ces personnes sont généralement très bonnes et rapides. »

Rudnev dit que l’intuition initiale d’Erdős était que cette conjecture devrait être principalement vraie pour les nombres entiers, ou les nombres entiers, et cela semble toujours être vrai, car l’ensemble trouvé par Bloom et son équipe utilisait des systèmes numériques exotiques qui deviennent de plus en plus compliqués à mesure que leurs ensembles grandissent. Bloom convient que la conjecture est toujours valable pour les nombres entiers et qu’« il y a encore énormément de travail à faire ; nous ne comprenons pas vraiment ce qui se passe ».

Le principal enseignement de cette preuve est que des problèmes qui semblent géométriques, tels que les ensembles de puissances carrées de deux, peuvent en réalité être résolus avec des outils issus de la théorie des nombres, explique Bloom. « Cela ouvre également ces problèmes à une toute nouvelle communauté. Les spécialistes de la théorie algébrique des nombres ne s’intéressaient pas vraiment à ces questions. »